自分のマナゾーンに火のカードが1枚と自然のカードが6枚あります。バトルゾーンに自分の《龍鳥の面 ピーア》がある時、《牙英雄 オトマ=クット》を召喚しました。
この時、どのような処理になりますか？

まず《牙英雄 オトマ=クット》の「マナ武装 7：バトルゾーンに出た時、自分のマナゾーンに自然のカードが7枚以上あれば、自分の使用可能マナを7回復する。」が誘発しますが、この段階だとマナゾーンに自然のカードが6枚しかないため、処理されません。
次に《牙英雄 オトマ=クット》の「バトルゾーンに出た時、相手のドラゴンでないクリーチャー1体をマナゾーンに置く。」を処理します。
最後に《龍鳥の面 ピーア》の「自分のコマンド・ドラゴンがバトルゾーンに出た時、自分の山札の上から1枚目をマナゾーンに置く。」を処理します。
この能力で自然のカードがマナに置かれたとしても、《牙英雄 オトマ=クット》の「マナ武装」能力は既に処理をし終えた後なので、この時点では、「マナ武装」が処理されることはありません。
バトルゾーンで複数の能力が同時に誘発した場合は、発生源がバトルゾーンの右にある能力から順番に処理されます。
ただし、同時に誘発した効果が《アクア・ハルカス》等が持つ「バトルゾーンに出た時」能力の場合には、そちらから先に処理されます。